等价矩阵 Matrix equivalence

（重定向自Equivalent matrices）

在线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个 $m \times n$ 的矩阵，记作A和B。它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵： $n \times n$ 的矩阵P以及 $m \times m$ 的矩阵Q，使得

这时称两个矩阵A和B是等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那幺它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得

由于其中的P也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。但是，等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵， $\mathbf{A} = \mathbf{PBQ}$ 中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。

单词	Equivalent matrices
释义	Equivalent matrices 中文百科等价矩阵 Matrix equivalence （重定向自Equivalent matrices）在线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个 $m \times n$ 的矩阵，记作A和B。它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵： $n \times n$ 的矩阵P以及 $m \times m$ 的矩阵Q，使得这时称两个矩阵A和B是等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那幺它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵P，使得由于其中的P也是可逆的矩阵，所以A和B相似必然推出它们等价。但是，等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵， $\mathbf{A} = \mathbf{PBQ}$ 中用到的Q也不一定是P的逆矩阵。英语百科 Matrix equivalence 等价矩阵（重定向自Equivalent matrices） In linear algebra, two rectangular m-by-n matrices A and B are called equivalent if for some invertible n-by-n matrix P and some invertible m-by-m matrix Q. Equivalent matrices represent the same linear transformation V → W under two different choices of a pair of bases of V and W, with P and Q being the change of basis matrices in V and W respectively.
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