三重积

三重积，又称混合积，是三个矢量相乘的结果。矢量空间中，有两种方法将三个矢量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和矢量三重积。

标量三重积是三个矢量中的一个和另两个矢量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。

设 $\mathbf{a}$ 、 $\mathbf{b}$ 、 $\mathbf{c}$ 为三个矢量，则标量三重积的定义为

设 $\mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}$ 、 $\mathbf{b}=b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j}+b_3\mathbf{k}$ 、 $\mathbf{c}=c_1\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+c_3\mathbf{k}$ ，则有

证明

$\begin{align} & =(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k})\cdot \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} \\ & =(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k})\cdot (\mathbf{i} \begin{vmatrix} \ b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} \ b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} \ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix}) \\ & = a_1 \begin{vmatrix} \ b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} \ b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} \ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} \end{align}$

利用行列式的特性，可知顺序置换矢量的位置不影响标量三重积的值：

任意对换两个矢量的位置，标量三重积与原来相差一个负号：

若任意两个矢量相等，则标量三重积等于零：

有时候，纯量三重积会以括号表示：

几何上，由三个矢量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：

单词	Triple product
释义	Triple product 原声例句经济学人 Science and technology This trinity gives rise to a value called the triple product which, if high enough, results in " ignition" , in which the reaction generates enough energy to sustain itself. 这种三位一体产生了一个称为三重乘积的值，如果足够高，就会导致“点火”，反应会产生足够的能量来维持自身。中文百科三重积三重积，又称混合积，是三个矢量相乘的结果。矢量空间中，有两种方法将三个矢量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和矢量三重积。标量三重积是三个矢量中的一个和另两个矢量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。设 $\mathbf{a}$ 、 $\mathbf{b}$ 、 $\mathbf{c}$ 为三个矢量，则标量三重积的定义为设 $\mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}$ 、 $\mathbf{b}=b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j}+b_3\mathbf{k}$ 、 $\mathbf{c}=c_1\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+c_3\mathbf{k}$ ，则有证明 $\begin{align} & =(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k})\cdot \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} \\ & =(a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k})\cdot (\mathbf{i} \begin{vmatrix} \ b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} \ b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} \ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix}) \\ & = a_1 \begin{vmatrix} \ b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} \ b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \\ \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} \ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \\ \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} \end{align}$ 利用行列式的特性，可知顺序置换矢量的位置不影响标量三重积的值：任意对换两个矢量的位置，标量三重积与原来相差一个负号：若任意两个矢量相等，则标量三重积等于零：有时候，纯量三重积会以括号表示：几何上，由三个矢量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：英语百科 Triple product 三重积 In vector calculus, a branch of mathematics, the triple product is a product of three 3-dimensional vectors, usually Euclidean vectors. The name "triple product" is used for two different products, the scalar-valued scalar triple product and, less often, the vector-valued vector triple product.
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