理想的根

在数学中的环论领域，一个理想的根是一个较大的理想，它约略是该理想的某种闭包。根理想是等于其自身的根的理想。

理想的根又可分为雅各布森根与幂零根，前者较后者为大。

设 $R$ 为交换环， $I \subset R$ 为其理想。该理想的幂零根 $\mathrm{Rad}(I)$ （或 $\sqrt{I}$ ）定义为

由二项式定理可知 $\mathrm{Rad}(I)$ 也是一个理想，并包含 $I$ 。当取 $I=\{0\}$ 时，相应的根即是幂零元素的集合，也称作环的幂零根，有时记为 $\mathrm{nil}(R)$ 。记 $\pi: R \to R/I$ 为商同态，则

利用局部化技巧，也可证明

为具体起见，考虑较简单的例子 $R=\mathbb{Z}$ 。每个非零理想都可写成 $I = (\prod_i p_i^{e_i})$ ，此处 $p_1, p_2, \ldots$ 取遍所有素数， $e_i$ 则是非负整数。易证

单词	Radical of an ideal
释义	Radical of an ideal 中文百科理想的根在数学中的环论领域，一个理想的根是一个较大的理想，它约略是该理想的某种闭包。根理想是等于其自身的根的理想。理想的根又可分为雅各布森根与幂零根，前者较后者为大。设 $R$ 为交换环， $I \subset R$ 为其理想。该理想的幂零根 $\mathrm{Rad}(I)$ （或 $\sqrt{I}$ ）定义为由二项式定理可知 $\mathrm{Rad}(I)$ 也是一个理想，并包含 $I$ 。当取 $I=\{0\}$ 时，相应的根即是幂零元素的集合，也称作环的幂零根，有时记为 $\mathrm{nil}(R)$ 。记 $\pi: R \to R/I$ 为商同态，则利用局部化技巧，也可证明为具体起见，考虑较简单的例子 $R=\mathbb{Z}$ 。每个非零理想都可写成 $I = (\prod_i p_i^{e_i})$ ，此处 $p_1, p_2, \ldots$ 取遍所有素数， $e_i$ 则是非负整数。易证英语百科 Radical of an ideal 理想的根 In commutative ring theory, a branch of mathematics, the radical of an ideal I is an ideal such that an element x is in the radical if some power of x is in I. A radical ideal (or semiprime ideal) is an ideal that is its own radical (this can be phrased as being a fixed point of an operation on ideals called 'radicalization'). The radical of a primary ideal is prime.
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