同伦群

Primer grupo de homotopía (grupo fundamental) del toro.

在数学中，同伦群是拓扑空间的一种同伦不变量。同伦群的研究是同伦理论的基石之一，一般空间的同伦群极难计算，即使对球面 $S^n$ 的情形，至今也没有完整结果。

设 $X$ 为拓扑空间而 $S^n$ 为 $n$ 维球面。选定基点 $a \in S^n, x \in X$ 。定义 $\pi_n(X,x)$ 为 $[S^n, X]$ ，也就是由保持基点的连续映射 $f: S^n \to X$ 的同伦类构成的集合。为了方便起见，以纬垂坐标表示球面上的点，即： $s_1 \wedge \cdots \wedge s_n$ 表示 $(s_1, \ldots, s_n) \in [0,1]^n$ 在商映射 $[0,1]^n \to [0,1]^n/\partial ([0,1]^n) \simeq S^n$ 下的像。取 $S^n$ 的基点为 $a = 0 \wedge \cdots \wedge 0$ 。

注意到当 $n=0$ 时， $S^0 = \{-1,1 \}$ 而 $\pi_0(X,x)$ 的元素一一对应到 $X$ 的连通分支。

对于 $n \geq 1$ ， $\pi_n(X,x)$ 带有自然的群结构：首先，我们构造一个连续映射：

在此 $S^n \vee S^n$ 定义为将两份 $S^n$ 沿基点黏合得到的拓扑空间。映射 $s$ 定义为

单词	Homotopy group
释义	Homotopy group 中文百科同伦群在数学中，同伦群是拓扑空间的一种同伦不变量。同伦群的研究是同伦理论的基石之一，一般空间的同伦群极难计算，即使对球面 $S^n$ 的情形，至今也没有完整结果。设 $X$ 为拓扑空间而 $S^n$ 为 $n$ 维球面。选定基点 $a \in S^n, x \in X$ 。定义 $\pi_n(X,x)$ 为 $[S^n, X]$ ，也就是由保持基点的连续映射 $f: S^n \to X$ 的同伦类构成的集合。为了方便起见，以纬垂坐标表示球面上的点，即： $s_1 \wedge \cdots \wedge s_n$ 表示 $(s_1, \ldots, s_n) \in [0,1]^n$ 在商映射 $[0,1]^n \to [0,1]^n/\partial ([0,1]^n) \simeq S^n$ 下的像。取 $S^n$ 的基点为 $a = 0 \wedge \cdots \wedge 0$ 。注意到当 $n=0$ 时， $S^0 = \{-1,1 \}$ 而 $\pi_0(X,x)$ 的元素一一对应到 $X$ 的连通分支。对于 $n \geq 1$ ， $\pi_n(X,x)$ 带有自然的群结构：首先，我们构造一个连续映射：在此 $S^n \vee S^n$ 定义为将两份 $S^n$ 沿基点黏合得到的拓扑空间。映射 $s$ 定义为英语百科 Homotopy group 同伦群 In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces. The first and simplest homotopy group is the fundamental group, which records information about loops in a space. Intuitively, homotopy groups record information about the basic shape, or holes, of a topological space.
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