赫尔德不等式 Hölder's inequality

（重定向自Holder inequality）

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥托·赫尔德(Otto Hölder)。这是一条揭示L空间的相互关系的基本不等式：

设 $S$ 为测度空间， $1 \le p,q \le \infty$ ，及 ${1\over p} + {1\over q} = 1$ ，设 $f$ 在 $L^p(S)$ 内， $g$ 在 $L^q(S)$ 内。则 $f\mbox{ }g$ 在 $L^1(S)$ 内，且有

若 $S$ 取作 $\{1,...,n\}$ 附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数） $x_1,\mbox{ }...,\mbox{ }x_n;\mbox{ }y_1,\mbox{ }...,\mbox{ }y_n$ ，有

我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取 $S$ 为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

当 $p = q = 2$ ，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫尔德不等式可以证明 $L^p$ 空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明 $L^p$ 空间是 $L^q$ 空间的对偶。

单词	Holder inequality
释义	Holder inequality 中文百科赫尔德不等式 Hölder's inequality （重定向自Holder inequality）赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥托·赫尔德(Otto Hölder)。这是一条揭示L空间的相互关系的基本不等式：设 $S$ 为测度空间， $1 \le p,q \le \infty$ ，及 ${1\over p} + {1\over q} = 1$ ，设 $f$ 在 $L^p(S)$ 内， $g$ 在 $L^q(S)$ 内。则 $f\mbox{ }g$ 在 $L^1(S)$ 内，且有若 $S$ 取作 $\{1,...,n\}$ 附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：对所有实数（或复数） $x_1,\mbox{ }...,\mbox{ }x_n;\mbox{ }y_1,\mbox{ }...,\mbox{ }y_n$ ，有我们称p和q互为赫尔德共轭。若取 $S$ 为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。当 $p = q = 2$ ，便得到柯西-施瓦茨不等式。赫尔德不等式可以证明 $L^p$ 空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明 $L^p$ 空间是 $L^q$ 空间的对偶。英语百科 Hölder's inequality 赫尔德不等式（重定向自Holder inequality） In mathematical analysis Hölder's inequality, named after Otto Hölder, is a fundamental inequality between integrals and an indispensable tool for the study of $L$ spaces. The numbers $p$ and $q$ above are said to be Hölder conjugates of each other. The special case $p = q = 2$ gives a form of the Cauchy–Schwarz inequality. Hölder's inequality holds even if $\| \| fg \| \| 1$ is infinite, the right-hand side also being infinite in that case. Conversely, if $f$ is in $L (μ)$ and $g$ is in $L (μ)$ , then the pointwise product $fg$ is in $L (μ)$ .
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