调和函数

在数学、数学物理学以及随机过程理论中，都有调和函数的概念。一个调和函数是一个二阶连续可导的函数f : U → R（其中U是R里的一个开子集），其满足拉普拉斯方程，即在U上满足方程：

\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0

上式也经常写作

\nabla^2 f = 0

或

\ \Delta f = 0

，其中符号

\Delta

是拉普拉斯算子

调和函数还用一个较为弱的定义，但这个定义与上述的定义是等价的。

运用拉普拉斯-德拉姆算子 $\Delta$ ，调和函数可以在任意的黎曼流形上定义。在这种情况下，调和函数直接定义为：满足 $\ \Delta f = 0$

一个 $C^2$ 的函数如果满足 $\Delta f \ge 0$ ，则被称作次调和函数。

单词	Harmonic function
释义	Harmonic function 中文百科调和函数在数学、数学物理学以及随机过程理论中，都有调和函数的概念。一个调和函数是一个二阶连续可导的函数f : U → R（其中U是R里的一个开子集），其满足拉普拉斯方程，即在U上满足方程： $\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0$ 上式也经常写作 $\nabla^2 f = 0$ 或 $\ \Delta f = 0$ ，其中符号 $\Delta$ 是拉普拉斯算子调和函数还用一个较为弱的定义，但这个定义与上述的定义是等价的。运用拉普拉斯-德拉姆算子 $\Delta$ ，调和函数可以在任意的黎曼流形上定义。在这种情况下，调和函数直接定义为：满足 $\ \Delta f = 0$ 一个 $C^2$ 的函数如果满足 $\Delta f \ge 0$ ，则被称作次调和函数。英语百科 Harmonic function 调和函数 In mathematics, mathematical physics and the theory of stochastic processes, a harmonic function is a twice continuously differentiable function f : U → R (where U is an open subset of R) which satisfies Laplace's equation, i.e. everywhere on U. This is usually written as
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Harmonic function

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