二面体群

在数学中，二面体群 $D_{2n}$ 是正 $n$ 边形的对称群，具有 $2n$ 个元素。某些书上则记为 $D_n$ 。除了 $n=2$ 的情形外， $D_{2n}$ 都是非交换群。

抽象言之，首先考虑 $n$ 阶循环群 $C_n$ 。反射 $\tau: x \mapsto x^{-1}$ 是 $C_n$ 上的自同构，而且 $\tau^2 = \rm{id}$ 。定义二面体群为半直积

D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}

任取 $C_n$ 的生成元 $\sigma$ ， $D_{2n}$ 由 $\sigma, \tau$ 生成，其间的关系是

\sigma^n = e, \tau^2 = e, \tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\,

$D_{2n}$ 的元素均可唯一地表成 $\sigma^k \tau^h$ ，其中 $0 \leq k < n$ ， $h = 0,1\,$ 。

单词	Dihedral group
释义	Dihedral group 中文百科二面体群在数学中，二面体群 $D_{2n}$ 是正 $n$ 边形的对称群，具有 $2n$ 个元素。某些书上则记为 $D_n$ 。除了 $n=2$ 的情形外， $D_{2n}$ 都是非交换群。抽象言之，首先考虑 $n$ 阶循环群 $C_n$ 。反射 $\tau: x \mapsto x^{-1}$ 是 $C_n$ 上的自同构，而且 $\tau^2 = \rm{id}$ 。定义二面体群为半直积 $D_{2n}= C_n \rtimes \{e, \tau \}$ 任取 $C_n$ 的生成元 $\sigma$ ， $D_{2n}$ 由 $\sigma, \tau$ 生成，其间的关系是 $\sigma^n = e, \tau^2 = e, \tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\,$ $D_{2n}$ 的元素均可唯一地表成 $\sigma^k \tau^h$ ，其中 $0 \leq k < n$ ， $h = 0,1\,$ 。英语百科 Dihedral group 二面体群 In mathematics, a dihedral group is the group of symmetries of a regular polygon, which includes rotations and reflections. Dihedral groups are among the simplest examples of finite groups, and they play an important role in group theory, geometry, and chemistry.
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