导出函子

在同调代数中，阿贝尔范畴间的某类函子可以「求导」，以获得相应的导出函子。此概念可以融贯数学中许多领域里的具体构造。

考虑导出函子的原始目的是从一个短正合串行造出一个长正合串行。具体言之：给定两个阿贝尔范畴 $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ ，及其间的加法函子 $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 。假设 $F$ 为左正合函子，换言之，对 $\mathcal{A}$ 中的任一短正合串行

0\to A \to B \to C \to 0

下列串行是正合的：

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)

由此自然导出一个问题：如何自然地延长此正合串行？ $F$ 的（右）导出函子是一族函子 $R^i F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ，满足 $R^0 F = F$ ，且有相应的长正合串行：

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A) \to R^1F(B) \to R^1F(C)\to R^2F(A)\to \cdots

导出函子可以视为 $F$ 的右正合性的尺度。

单词	Derived functor
释义	Derived functor 中文百科导出函子在同调代数中，阿贝尔范畴间的某类函子可以「求导」，以获得相应的导出函子。此概念可以融贯数学中许多领域里的具体构造。考虑导出函子的原始目的是从一个短正合串行造出一个长正合串行。具体言之：给定两个阿贝尔范畴 $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ ，及其间的加法函子 $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ 。假设 $F$ 为左正合函子，换言之，对 $\mathcal{A}$ 中的任一短正合串行 $0\to A \to B \to C \to 0$ 下列串行是正合的： $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ 由此自然导出一个问题：如何自然地延长此正合串行？ $F$ 的（右）导出函子是一族函子 $R^i F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ，满足 $R^0 F = F$ ，且有相应的长正合串行： $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^1F(A) \to R^1F(B) \to R^1F(C)\to R^2F(A)\to \cdots$ 导出函子可以视为 $F$ 的右正合性的尺度。英语百科 Derived functor 导出函子 In mathematics, certain functors may be derived to obtain other functors closely related to the original ones. This operation, while fairly abstract, unifies a number of constructions throughout mathematics.
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