闭值域定理

闭值域定理是数学中的巴拿赫空间理论中的一个定理，给出了闭合稠定线性算子（closed densely defined operator）的值域为闭集的充要条件。这一定理由斯特凡·巴拿赫于1932年在《线性算子理论》（Théorie des opérations linéaires）一文中给出了证明。

设X与Y为巴拿赫空间，若T : D(X) → Y是一个闭合的线性算子，它的定义域D(X)在X中稠密，而 $\scriptstyle{T'}$ 是它的转置算子。则定理指出，如下四个结论等价：

此定理有一些直接的推论。比如，当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时（continuous inverse），存在一个稠定线性算子T使得Im(T) = Y。相似地，当且仅当T存在连续的逆算子时， $\scriptstyle{\operatorname{Im}(T') = X'}$ 。

单词	Closed range theorem
释义	Closed range theorem 中文百科闭值域定理闭值域定理是数学中的巴拿赫空间理论中的一个定理，给出了闭合稠定线性算子（closed densely defined operator）的值域为闭集的充要条件。这一定理由斯特凡·巴拿赫于1932年在《线性算子理论》（Théorie des opérations linéaires）一文中给出了证明。设X与Y为巴拿赫空间，若T : D(X) → Y是一个闭合的线性算子，它的定义域D(X)在X中稠密，而 $\scriptstyle{T'}$ 是它的转置算子。则定理指出，如下四个结论等价：此定理有一些直接的推论。比如，当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时（continuous inverse），存在一个稠定线性算子T使得Im(T) = Y。相似地，当且仅当T存在连续的逆算子时， $\scriptstyle{\operatorname{Im}(T') = X'}$ 。英语百科 Closed range theorem 闭值域定理 In the mathematical theory of Banach spaces, the closed range theorem gives necessary and sufficient conditions for a closed densely defined operator to have closed range.
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