伴随函子

在范畴论中，函子 $F, G$ 若满足 $\mathrm{Hom}(F(-),-) = \mathrm{Hom}(-,G(-))$ ，则称之为一对伴随函子，其中 $G$ 称为 $F$ 的右伴随函子，而 $F$ 是 $G$ 的左伴随函子。伴随函子在范畴论中是个极基本而有用的概念。

设 $F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2, \; G: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1$ 为函子，若存在双函子的同构

\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-,G(-))

则称 $F, G$ 为一对伴随函子， $G$ 称为 $F$ 的右伴随函子，而 $F$ 是 $G$ 的左伴随函子。

上述同构进一步给出两个同构

\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F \circ G(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(G(-), G(-))

\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-), F(-)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-, G \circ F(-))

分别在同构的左右两侧置 $\mathrm{id}_{F(-)}$ 与 $\mathrm{id}_{G(-)}$ ，遂得到函子间的态射（即自然变换）：

\mathrm{id}_{\mathcal{C}_1} \to G \circ F \quad

（单位）

F \circ G \to \mathrm{id}_{\mathcal{C}_2} \quad

（上单位）

定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。

单词	Adjoint functors
释义	Adjoint functors 中文百科伴随函子在范畴论中，函子 $F, G$ 若满足 $\mathrm{Hom}(F(-),-) = \mathrm{Hom}(-,G(-))$ ，则称之为一对伴随函子，其中 $G$ 称为 $F$ 的右伴随函子，而 $F$ 是 $G$ 的左伴随函子。伴随函子在范畴论中是个极基本而有用的概念。设 $F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2, \; G: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1$ 为函子，若存在双函子的同构 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-,G(-))$ 则称 $F, G$ 为一对伴随函子， $G$ 称为 $F$ 的右伴随函子，而 $F$ 是 $G$ 的左伴随函子。上述同构进一步给出两个同构 $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F \circ G(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(G(-), G(-))$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-), F(-)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-, G \circ F(-))$ 分别在同构的左右两侧置 $\mathrm{id}_{F(-)}$ 与 $\mathrm{id}_{G(-)}$ ，遂得到函子间的态射（即自然变换）： $\mathrm{id}_{\mathcal{C}_1} \to G \circ F \quad$ （单位） $F \circ G \to \mathrm{id}_{\mathcal{C}_2} \quad$ （上单位）定义中的双函子同构由单位与上单位唯一决定。英语百科 Adjoint functors 伴随函子 In mathematics, specifically category theory, adjunction is a possible relationship between two functors. Adjunction is ubiquitous in mathematics, as it specifies intuitive notions of optimization and efficiency. In the most concise symmetric definition, an adjunction between categories C and D is a pair of functors,
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