嘉当矩阵

在数学中，嘉当矩阵是由法国数学家埃利·嘉当引入的一类特别矩阵，最大的应用在于李代数的分类理论。在有限维代数的表示理论中，嘉当矩阵另有其它意义。

所谓广义嘉当矩阵是具有下述性质的方阵 $A=(a_{ij})$ ：

第四个条件可由第一及第五个条件导出。在第五个条件中，若可取 $S$ 为正定，则称 $A$ 为嘉当矩阵。

若两个嘉当矩阵差一个排列矩阵的共轭： $A' = P^{-1} A P$ ，则称两者同构。若一嘉当矩阵同构于分块对角的嘉当矩阵，则称之为可化的，反之则称为不可化。

由半单李代数可以得到根系，对应的广义嘉当矩阵定义为

其中 $r_i$ 是选定的单根。单李代数对应于不可化嘉当矩阵。

不可化嘉当矩阵可透过连通丹金图分类。具体方式是取 $n$ 个顶点（n 为嘉当矩阵 $A$ 的阶数），将顶点 $i,j$ 以 $a_{ij} \cdot a_{ji}$ 条边相连。定义每个顶点的权 $w_i$ 使得 $w_j/w_i = a_{ij}/a_{ji}$ ，若两个相邻顶点 $i,j$ 的权不同，则规定边从权大者指向小者。这套模式类似于从根系定义丹金图的手法。

单词	Cartan matrix
释义	Cartan matrix 中文百科嘉当矩阵在数学中，嘉当矩阵是由法国数学家埃利·嘉当引入的一类特别矩阵，最大的应用在于李代数的分类理论。在有限维代数的表示理论中，嘉当矩阵另有其它意义。所谓广义嘉当矩阵是具有下述性质的方阵 $A=(a_{ij})$ ：第四个条件可由第一及第五个条件导出。在第五个条件中，若可取 $S$ 为正定，则称 $A$ 为嘉当矩阵。若两个嘉当矩阵差一个排列矩阵的共轭： $A' = P^{-1} A P$ ，则称两者同构。若一嘉当矩阵同构于分块对角的嘉当矩阵，则称之为可化的，反之则称为不可化。由半单李代数可以得到根系，对应的广义嘉当矩阵定义为其中 $r_i$ 是选定的单根。单李代数对应于不可化嘉当矩阵。不可化嘉当矩阵可透过连通丹金图分类。具体方式是取 $n$ 个顶点（n 为嘉当矩阵 $A$ 的阶数），将顶点 $i,j$ 以 $a_{ij} \cdot a_{ji}$ 条边相连。定义每个顶点的权 $w_i$ 使得 $w_j/w_i = a_{ij}/a_{ji}$ ，若两个相邻顶点 $i,j$ 的权不同，则规定边从权大者指向小者。这套模式类似于从根系定义丹金图的手法。英语百科 Cartan matrix 嘉当矩阵 In mathematics, the term Cartan matrix has three meanings. All of these are named after the French mathematician Élie Cartan. In fact, Cartan matrices in the context of Lie algebras were first investigated by Wilhelm Killing, whereas the Killing form is due to Cartan.
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