全微分 Total derivative

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全微分（英语：total derivative）是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量 $\Delta z$ 的线性主部，记为 $\operatorname dz$ 。例如，对于二元函数 $z=f(x,\ y)$ ，设f在点 $P_0(x_0,\ y_0)$ 的某个邻域内有定义， $P(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)$ 为该邻域内的任意一点，则该函数在点 $P_0(x_0,\ y_0)$ 的全增量可表示为

\Delta z = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)

，

其中 $A$ ， $B$ 仅与 $x$ ， $y$ 有关，而与 $\Delta x$ ， $\Delta y$ 无关， $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}$ 。若 $o(\rho)$ 是当 $\rho \rightarrow 0$ 时的高阶无穷小，则称此函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x,\ y)$ 可微分，而 $A\Delta x+B\Delta y$ 即为函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $P_0(x_0,\ y_0)$ 的全微分，记作

\operatorname dz|_{x=x_0,\ y=y_0} = A\Delta x + B\Delta y

或 $\operatorname df(x_0,y_0) = A\Delta x + B\Delta y$ 。

单词	Total differentiation
释义	Total differentiation 中文百科全微分 Total derivative （重定向自Total differentiation）全微分（英语：total derivative）是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量 $\Delta z$ 的线性主部，记为 $\operatorname dz$ 。例如，对于二元函数 $z=f(x,\ y)$ ，设f在点 $P_0(x_0,\ y_0)$ 的某个邻域内有定义， $P(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)$ 为该邻域内的任意一点，则该函数在点 $P_0(x_0,\ y_0)$ 的全增量可表示为 $\Delta z = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho)$ ，其中 $A$ ， $B$ 仅与 $x$ ， $y$ 有关，而与 $\Delta x$ ， $\Delta y$ 无关， $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2 +(\Delta y)^2}$ 。若 $o(\rho)$ 是当 $\rho \rightarrow 0$ 时的高阶无穷小，则称此函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $(x,\ y)$ 可微分，而 $A\Delta x+B\Delta y$ 即为函数 $z=f(x,\ y)$ 在点 $P_0(x_0,\ y_0)$ 的全微分，记作 $\operatorname dz\|_{x=x_0,\ y=y_0} = A\Delta x + B\Delta y$ 或 $\operatorname df(x_0,y_0) = A\Delta x + B\Delta y$ 。英语百科 Total derivative 全微分（重定向自Total differentiation） In the mathematical field of differential calculus, a total derivative or full derivative of a function $f$ of several variables, e.g., $t$ , $x$ , $y$ , etc., with respect to an exogenous argument, e.g., $t$ , is the limiting ratio of the change in the function's value to the change in the exogenous argument's value (for arbitrarily small changes), taking into account the exogenous argument's direct effect as well as its indirect effects via the other arguments of the function.
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