截面曲率

在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率 $K(\sigma_p)$ 依赖于p点的切空间里的一个二维平面 $\sigma_p$ 。它就定义为该截面，考虑在 p 点以平面 $\sigma_p$ 作为切平面的曲面 ${\textstyle S_p}$ ，这曲面是收集流形中某包含 $p$ 的邻域内从 p 点出发的测地线且这测地线在 $p$ 点的切矢量属于截面 $\sigma_p$ （换句话说就是 ${\textstyle S_p=\exp_p U}$ 其中 ${\textstyle U\subseteq \sigma_p}$ 是 ${\textstyle \sigma_p}$ 里包含原点的邻域）_，而截面曲率 $K(\sigma_p)$ 就是曲面 $S_p$ 在 $p$ 点的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。

单词	Sectional curvature
释义	Sectional curvature 中文百科截面曲率在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率 $K(\sigma_p)$ 依赖于p点的切空间里的一个二维平面 $\sigma_p$ 。它就定义为该截面，考虑在 p 点以平面 $\sigma_p$ 作为切平面的曲面 ${\textstyle S_p}$ ，这曲面是收集流形中某包含 $p$ 的邻域内从 p 点出发的测地线且这测地线在 $p$ 点的切矢量属于截面 $\sigma_p$ （换句话说就是 ${\textstyle S_p=\exp_p U}$ 其中 ${\textstyle U\subseteq \sigma_p}$ 是 ${\textstyle \sigma_p}$ 里包含原点的邻域）_，而截面曲率 $K(\sigma_p)$ 就是曲面 $S_p$ 在 $p$ 点的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。英语百科 Sectional curvature 截面曲率 In Riemannian geometry, the sectional curvature is one of the ways to describe the curvature of Riemannian manifolds. The sectional curvature K(σ_p) depends on a two-dimensional plane σ_p in the tangent space at p. It is the Gaussian curvature of the surface which has the plane σ_p as a tangent plane at p, obtained from geodesics which start at p in the directions of σ_p (in other words, the image of σ_p under the exponential map at p). The sectional curvature is a smooth real-valued function on the 2-Grassmannian bundle over the manifold.
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