Riccati方程

Riccati方程是形式如 $y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2$ 的常微分方程。

先以 $v = y q_2$ 代入：

v' = v^2 + P(x) v + Q(x)

其中 $P = q_1 + \frac{q_2'}{q_2} ;\quad Q = q_0q_2$ 。

再以 $v = -\frac{u'}{u}$ 代入：

u'' - Pu' + Qu = 0

因为

v'=-\left(\frac{u'}{u}\right)'=-\frac{u''}{u} +\left(\frac{u'}{u}\right)^2=-\frac{u''}{u}+v^2\!

则

\frac{u''}{u}= v^2 -v'=-Q -Pv=-Q +\frac{u'}{u}P\!

因此

u'' -Pu' +Qu=0.\!

最终 $y=-\frac{u'}{q_2u}$ .

单词	Riccati equation
释义	Riccati equation 中文百科 Riccati方程 Riccati方程是形式如 $y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2$ 的常微分方程。先以 $v = y q_2$ 代入： $v' = v^2 + P(x) v + Q(x)$ 其中 $P = q_1 + \frac{q_2'}{q_2} ;\quad Q = q_0q_2$ 。再以 $v = -\frac{u'}{u}$ 代入： $u'' - Pu' + Qu = 0$ 因为 $v'=-\left(\frac{u'}{u}\right)'=-\frac{u''}{u} +\left(\frac{u'}{u}\right)^2=-\frac{u''}{u}+v^2\!$ 则 $\frac{u''}{u}= v^2 -v'=-Q -Pv=-Q +\frac{u'}{u}P\!$ 因此 $u'' -Pu' +Qu=0.\!$ 最终 $y=-\frac{u'}{q_2u}$ . 英语百科 Riccati equation Riccati方程 In mathematics, a Riccati equation in the narrowest sense is any first-order ordinary differential equation that is quadratic in the unknown function. In other words, it is an equation of the form where $q_0(x) \neq 0$ and $q_2(x) \neq 0$ . If $q_0(x) = 0$ the equation reduces to a Bernoulli equation, while if $q_2(x) = 0$ the equation becomes a first order linear ordinary differential equation.
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