假设是一个群，若 是 的一个非空子集且同时 与相同的二元运算 亦构成一个群，则 称为 的一个子群。参阅群论。

更精确地来说，H为G的子群若运算*在H的限制也是个在H上的群运算的话。

一个群G的纯子群是指一个子群H，其为G的纯子集(即H ≠ G)。任一个群的当然群为只包含单比特素的子群{e}。若H为G的子群，则G有时会被称为H的「母群」。

相同的定义可以应用在更广义的范围内，当G为一任意的半群，但此一条目中只处理群的子群而已。群G有时会被标记成有序对(G,*)，通常用以强调其运算*当G带有多重的代数或其他结构。

In group theory, a branch of mathematics, given a group G under a binary operation ∗, a subset H of G is called a subgroup of G if H also forms a group under the operation ∗. More precisely, H is a subgroup of G if the restriction of ∗ to H × H is a group operation on H. This is usually denoted H ≤ G, read as "H is a subgroup of G".