射影表示

在数学中，群 $G$ 在域 $F$ 上的矢量空间 $V$ 上的射影表示意指一个群同态

其中 $\mathrm{GL}(V)$ 表示矢量空间 $V$ 的自同构群，而 $F^\times$ 视为纯量积映射 $v \mapsto cv$ ，其中 $c \in F^\times$ 。

若 $V$ 维度有限，选定基底后可将 $\mathrm{PGL}(V)$ 理解为 $\mathrm{PGL}(n,F)$ ，即 $n \times n$ 阶可逆矩阵对正规子群 $F^\times \cdot \mathrm{id}_V$ 之商群。

对于给定的群表示 $\rho: G \to \mathrm{GL}(V)$ ，与商映射 $p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V)$ 合成后可得到一个射影表示。较常探讨的是逆向的问题：如何将一个射影表示 $\bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V)$ 提升至一个表示 $\rho: G \to \mathrm{GL}(V)$ ，使得 $p \circ \rho = \bar{\rho}$ ？

对于提升问题，通常采取如下进路：取同态 $\bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V)$ 与 $p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V)$ 的纤维积，得到一个中心扩张

其中 $\tilde{G} = \{ (g,M) \in G \times \mathrm{GL}(V) | p(M)=\rho(g) \}$ 。

这类扩张由群上同调 $H^2(\mathrm{GL}(V), F^\times)$ 分类。若此扩张是平凡的，则 $\bar{\rho}$ 可提升至 $G$ 的表示。即使此表示无法提升，仍可退而求其次，藉群上同调研究扩张的性质，例如：扩张对应的上同调类 $\alpha \in H^2(\mathrm{GL}(V), F^\times)$ 满足 $n\alpha=0$ 若且唯若 $\bar{\rho}$ 可提升为某个中心扩张 $1 \to \mathbf{\mu}_n \to \hat{G} \to \mathrm{GL}(V) \to 1$ 的 $\hat{G}$ 的表示。

单词	Projective representation
释义	Projective representation 中文百科射影表示在数学中，群 $G$ 在域 $F$ 上的矢量空间 $V$ 上的射影表示意指一个群同态其中 $\mathrm{GL}(V)$ 表示矢量空间 $V$ 的自同构群，而 $F^\times$ 视为纯量积映射 $v \mapsto cv$ ，其中 $c \in F^\times$ 。若 $V$ 维度有限，选定基底后可将 $\mathrm{PGL}(V)$ 理解为 $\mathrm{PGL}(n,F)$ ，即 $n \times n$ 阶可逆矩阵对正规子群 $F^\times \cdot \mathrm{id}_V$ 之商群。对于给定的群表示 $\rho: G \to \mathrm{GL}(V)$ ，与商映射 $p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V)$ 合成后可得到一个射影表示。较常探讨的是逆向的问题：如何将一个射影表示 $\bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V)$ 提升至一个表示 $\rho: G \to \mathrm{GL}(V)$ ，使得 $p \circ \rho = \bar{\rho}$ ？对于提升问题，通常采取如下进路：取同态 $\bar{\rho}: G \to \mathrm{PGL}(V)$ 与 $p: \mathrm{GL}(V) \to \mathrm{PGL}(V)$ 的纤维积，得到一个中心扩张其中 $\tilde{G} = \{ (g,M) \in G \times \mathrm{GL}(V) \| p(M)=\rho(g) \}$ 。这类扩张由群上同调 $H^2(\mathrm{GL}(V), F^\times)$ 分类。若此扩张是平凡的，则 $\bar{\rho}$ 可提升至 $G$ 的表示。即使此表示无法提升，仍可退而求其次，藉群上同调研究扩张的性质，例如：扩张对应的上同调类 $\alpha \in H^2(\mathrm{GL}(V), F^\times)$ 满足 $n\alpha=0$ 若且唯若 $\bar{\rho}$ 可提升为某个中心扩张 $1 \to \mathbf{\mu}_n \to \hat{G} \to \mathrm{GL}(V) \to 1$ 的 $\hat{G}$ 的表示。英语百科 Projective representation 射影表示 In the field of representation theory in mathematics, a projective representation of a group G on a vector space V over a field F is a group homomorphism from G to the projective linear group where GL(V, F) is the general linear group of invertible linear transformations of V over F and F is the normal subgroup consisting of multiplications of vectors in V by nonzero elements of F (that is, scalar multiples of the identity; scalar transformations).
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Projective representation

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