乘积法则

Figure 1. Illustration géométrique de la règle du produit.

Geometrische Veranschaulichung des Beweises der Produktregel

乘积法则，也称为莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

若已知两个可导函数 $f,g$ 及其导数 $f',g'$ ，则它们的积 $fg$ 的导数为：

(fg)'=f'g+fg' \,

这个法则可衍生出积分的分部积分法。

这个法则是莱布尼兹发现的，以下是他的证明：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那幺，uv的微分是：

\begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align}

由于du·dv可以忽略不计，因此有：

d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,

两边除以dx，便得：

\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx}

或

(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,

单词	Product rule
释义	Product rule 中文百科乘积法则乘积法则，也称为莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。若已知两个可导函数 $f,g$ 及其导数 $f',g'$ ，则它们的积 $fg$ 的导数为： $(fg)'=f'g+fg' \,$ 这个法则可衍生出积分的分部积分法。这个法则是莱布尼兹发现的，以下是他的证明：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那幺，uv的微分是： $\begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align}$ 由于du·dv可以忽略不计，因此有： $d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,$ 两边除以dx，便得： $\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx}$ 或 $(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,$ 英语百科 Product rule 乘积法则 In calculus, the product rule is a formula used to find the derivatives of products of two or more functions. It may be stated as or in the Leibniz notation In differentials notation, this can be written as In Leibniz notation, the derivative of the product of three functions (not to be confused with Euler's triple product rule) is
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