自守数

自守数（Automorphic Number，中国大陆一些文献中也称为同构数）：是其任意次幂的末几位数字等于这个数本身的数。在十进制数字中，5、6、25、76、376、625、……（OEIS中的数列A003226）都是自守数。如果一个数是自守数，则它必定满足 $x^m \equiv x \pmod{n}$ 。

在十进制的 $k$ 位数中，最多有两类自守数，一个个位数字为5，另一个个位数字为6（除非 $k=1$ ，该数为3）。一个形式为 $n\equiv 0\pmod{2^{k}}, n\equiv 1\pmod{5^{k}}$ ；另一个形式为 $n\equiv 1\pmod{2^{k}}, n\equiv 0\pmod{5^{k}}$ 。其和必定为 $10^k+1$ 。

类似的，自守数可以推广到高次。如果把原来意义上的自守数称为2阶的话，把形如

3阶自守数的列表：1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249……（OEIS中的数列A033819）

单词	Automorphic number
释义	Automorphic number 中文百科自守数自守数（Automorphic Number，中国大陆一些文献中也称为同构数）：是其任意次幂的末几位数字等于这个数本身的数。在十进制数字中，5、6、25、76、376、625、……（OEIS中的数列A003226）都是自守数。如果一个数是自守数，则它必定满足 $x^m \equiv x \pmod{n}$ 。在十进制的 $k$ 位数中，最多有两类自守数，一个个位数字为5，另一个个位数字为6（除非 $k=1$ ，该数为3）。一个形式为 $n\equiv 0\pmod{2^{k}}, n\equiv 1\pmod{5^{k}}$ ；另一个形式为 $n\equiv 1\pmod{2^{k}}, n\equiv 0\pmod{5^{k}}$ 。其和必定为 $10^k+1$ 。类似的，自守数可以推广到高次。如果把原来意义上的自守数称为2阶的话，把形如 3阶自守数的列表：1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249……（OEIS中的数列A033819）英语百科 Automorphic number 自守数 In mathematics an automorphic number (sometimes referred to as a circular number) is a number whose square "ends" in the same digits as the number itself. For example, 5 = 25, 6 = 36, 76 = 5776, and 890625 = 793212890625, so 5, 6, 76 and 890625 are all automorphic numbers. The only automorphic Kaprekar number is 1, because the square of a Kaprekar number cannot start with zero.
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