多项式定理

多项式定理为二项式定理的推广。 $t=2$ 时为二项式定理。

$(x_1+x_2+...+x_t)^n=\sum\frac{n!}{n_1!n_2!...n_t!}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_t^{n_t}$

其中 $n_1+n_2+...+n_t=n$ 、 $0\le n_i\le n$

$n_1,n_2, n_3 ... n_t$ 是指一切满足上述条件的非负数组合。

数学归纳法

对元数t做归纳：
当t=2时，原式为二项式定理，成立。
假设对t-1元成立，则：

\left ( x_1+x_2+...+x_t \right )^{n}

=

((x_1+x_2+...+x_{t-1})+x_t)^{n}

=

\sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\left ( x_1+x_2+...+x_{t-1} \right )^{n-n _t}x_t^{n _t}

=

\sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\sum_{n_1+n_2+...+n _{t-1}=n-n _t}\frac{\left ( n-n _t \right )!}{n _1!...n _{t-1}!}x_1^{n _1}...x_{t-1}^{n _{t-1}}x_t^{n _t}

=

\sum_{n_1+n_2+...+n _t=n}\frac{n!}{n _1!...n _t!}x_1^{n _1}...x_t^{n _t}

证毕.

组合法

从 $n_1+n_2+...+n_t=n$ 中选 $n_i$ 个 $x_i$ ：

$\displaystyle \binom{n}{n_1} \binom{n-n_1}{n_2} \binom{n-n_1-n_2}{n_3} ... \binom{n-n_1-n_2-...-n_{t-1}}{n_t}$

$= \frac{n!(n-n_1)!(n-n_1-n_2)!...(n-n_1-n_2-...-n_{t-1})!}{n_1!(n-n_1)!n_2!(n-n_1-n_2)!n_3!(n-n_1-n_2-n_3)!...n_t!(n-n_1-n_2-...-n_t)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_t!}$
证毕.

单词	Multinomial theorem
释义	Multinomial theorem 中文百科多项式定理多项式定理为二项式定理的推广。 $t=2$ 时为二项式定理。 $(x_1+x_2+...+x_t)^n=\sum\frac{n!}{n_1!n_2!...n_t!}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_t^{n_t}$ 其中 $n_1+n_2+...+n_t=n$ 、 $0\le n_i\le n$ $n_1,n_2, n_3 ... n_t$ 是指一切满足上述条件的非负数组合。数学归纳法对元数t做归纳：当t=2时，原式为二项式定理，成立。假设对t-1元成立，则： $\left ( x_1+x_2+...+x_t \right )^{n}$ $=$ $((x_1+x_2+...+x_{t-1})+x_t)^{n}$ $=$ $\sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\left ( x_1+x_2+...+x_{t-1} \right )^{n-n _t}x_t^{n _t}$ $=$ $\sum_{n _t=0}^{n}\frac{n!}{n _t!\left ( n-n_t \right )!}\sum_{n_1+n_2+...+n _{t-1}=n-n _t}\frac{\left ( n-n _t \right )!}{n _1!...n _{t-1}!}x_1^{n _1}...x_{t-1}^{n _{t-1}}x_t^{n _t}$ $=$ $\sum_{n_1+n_2+...+n _t=n}\frac{n!}{n _1!...n _t!}x_1^{n _1}...x_t^{n _t}$ 证毕. 组合法从 $n_1+n_2+...+n_t=n$ 中选 $n_i$ 个 $x_i$ ： $\displaystyle \binom{n}{n_1} \binom{n-n_1}{n_2} \binom{n-n_1-n_2}{n_3} ... \binom{n-n_1-n_2-...-n_{t-1}}{n_t}$ $= \frac{n!(n-n_1)!(n-n_1-n_2)!...(n-n_1-n_2-...-n_{t-1})!}{n_1!(n-n_1)!n_2!(n-n_1-n_2)!n_3!(n-n_1-n_2-n_3)!...n_t!(n-n_1-n_2-...-n_t)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!...n_t!}$ 证毕. 英语百科 Multinomial theorem 多项式定理 In mathematics, the multinomial theorem describes how to expand a power of a sum in terms of powers of the terms in that sum. It is the generalization of the binomial theorem to polynomials.
随便看	eutectic copolymer的意思 eutectic coverage的意思 eutectic crystal的意思 eutectic crystallization的意思 eutectic deformation的意思 eutectic diagram的意思 eutectic die attachment的意思 eutectic die bonder的意思 eutectic equilibrium的意思 eutecticevaporate的意思 Eutectic freezing的意思 eutectic, frigorific mixture的意思 eutectic fusible alloy的意思 eutectic grain的意思 eutectic granite的意思 eutectic graphite的意思 eutectic growth的意思 eutectic horizontal的意思 eutectic ice的意思 eutectic intergrowth的意思 eutectic line的意思 eutectic liquid的意思 eutectic melting的意思 eutectic melting point的意思 eutectic metal的意思

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组合法

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