镜像法 Method of image charges




镜像法(又称镜像电荷法)是一种解析静电学问题的基本工具。对于静电学问题,镜像法将原本问题的某些元素改换为假想电荷,同时保证仍然满足定解问题原有的的边界条件(请参阅狄利克雷边界条件或诺伊曼边界条件)。
例如,给定一个由一片无限平面导体和一个点电荷构成的物理系统,这无限平面导体可以被视为一片镜子,在镜子里面的镜像电荷与镜子外面的点电荷,所形成的新系统,可以使得导体平面上的电场垂直于导体,与原本系统等价。借此方法,我们可以将问题简化,很容易地计算出导体外的电势、导体的表面感应电荷密度、总感应电荷等等。
镜像法的有效性是唯一性定理的必然结果,该定理指出如果指定了在体积 V 的整个区域内的电荷密度和 V 的所有边界上的电位值,区域 V 内的电位唯一确定。另外,应用此结果到高斯定理的微分形式就能表明,在由导体包围的包含电荷密度为 ρ 的体积 V 中,如果每个导体所带电荷已经给出,那幺电场是唯一确定的。拥有电势或电场的信息以及相应边界条件,只要在指定区域的电荷分布满足泊松方程并设定正确的边界值,我们就可以把我们考虑的电荷分布换为更容易分析的结构。