矩阵多项式

矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念，指由方块矩阵作为不定元的多项式，或由方块矩阵作为变量的多项式函数。

给定自然数 $n$ 、系数环 $\mathbf{R}$ 以及 $n$ 阶方块矩阵 $A$ ，一个关于矩阵 $A$ 的 $d$ 次的矩阵多项式通常写作：

P(A) = \alpha_0 \mathbf{I}_n + \alpha_1 A +\alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_d A^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i A^i

其中的 $\alpha_0, \alpha_1 , \cdots, \alpha_d$ 都是系数环 $\mathbf{R}$ 中的元素。这其实是可以看作将 $\mathbf{R}[\lambda]$ 中的多项式：

P(\lambda) = \alpha_0 + \alpha_1 \lambda +\alpha_2 \lambda^2 + \cdots + \alpha_d \lambda^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i \lambda^i

中的不定元 $\lambda$ 换成了一个 $n$ 阶方块矩阵 $A$ 后得到的结果。 $P(A)$ 和 $A$ 一样，也是一个 $n$ 阶方块矩阵。

单词	Matrix polynomial
释义	Matrix polynomial 中文百科矩阵多项式矩阵多项式是数学中矩阵论里的概念，指由方块矩阵作为不定元的多项式，或由方块矩阵作为变量的多项式函数。给定自然数 $n$ 、系数环 $\mathbf{R}$ 以及 $n$ 阶方块矩阵 $A$ ，一个关于矩阵 $A$ 的 $d$ 次的矩阵多项式通常写作： $P(A) = \alpha_0 \mathbf{I}_n + \alpha_1 A +\alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_d A^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i A^i$ 其中的 $\alpha_0, \alpha_1 , \cdots, \alpha_d$ 都是系数环 $\mathbf{R}$ 中的元素。这其实是可以看作将 $\mathbf{R}[\lambda]$ 中的多项式： $P(\lambda) = \alpha_0 + \alpha_1 \lambda +\alpha_2 \lambda^2 + \cdots + \alpha_d \lambda^d = \sum_{i=0}^d \alpha_i \lambda^i$ 中的不定元 $\lambda$ 换成了一个 $n$ 阶方块矩阵 $A$ 后得到的结果。 $P(A)$ 和 $A$ 一样，也是一个 $n$ 阶方块矩阵。英语百科 Matrix polynomial 矩阵多项式 In mathematics, a matrix polynomial is a polynomial with matrices as variables. Given an ordinary, scalar-valued polynomial this polynomial evaluated at a matrix A is where I is the identity matrix. A matrix polynomial equation is an equality between two matrix polynomials, which holds for the specific matrices in question. A matrix polynomial identity is a matrix polynomial equation which holds for all matrices A in a specified matrix ring M_n(R).
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