导出拓扑

在拓扑学与相关数学领域里，导出拓扑（induced topology）是指透过拓扑空间与某个集合间的函数，所导出该集合之拓扑。该集合可能是函数的定义域或对应域。

导出拓扑的定义如下：

可以看到，上述两个定义都是使用原像，因为原像会维持集合的交集与联集，但像则不一定可以。举例来说，考虑一具有拓扑 $\{\{-2, -1\}, \{1, 2\}\}$ 之集合 $X_0=\{-2, -1, 1, 2\}$ 、一集合 $X_1=\{-1, 0, 1\}$ ，以及一函数 $f:X_0\to X_1$ ，使得 $f(-2)=-1, f(-1)=0, f(1)=0, f(2)=1$ 。可知， $\tau_1=\{f(U_0)|U_0\in\tau_0\}$ 不会形成一个拓扑，因为 $\{\{-1, 0\}, \{0, 1\}\} \subseteq \tau_1$ ，但 $\{-1, 0\} \cap \{0, 1\} \notin \tau_1$ 。

下面为导出拓扑的等价定义：

单词	Induced topology
释义	Induced topology 中文百科导出拓扑在拓扑学与相关数学领域里，导出拓扑（induced topology）是指透过拓扑空间与某个集合间的函数，所导出该集合之拓扑。该集合可能是函数的定义域或对应域。导出拓扑的定义如下：可以看到，上述两个定义都是使用原像，因为原像会维持集合的交集与联集，但像则不一定可以。举例来说，考虑一具有拓扑 $\{\{-2, -1\}, \{1, 2\}\}$ 之集合 $X_0=\{-2, -1, 1, 2\}$ 、一集合 $X_1=\{-1, 0, 1\}$ ，以及一函数 $f:X_0\to X_1$ ，使得 $f(-2)=-1, f(-1)=0, f(1)=0, f(2)=1$ 。可知， $\tau_1=\{f(U_0)\|U_0\in\tau_0\}$ 不会形成一个拓扑，因为 $\{\{-1, 0\}, \{0, 1\}\} \subseteq \tau_1$ ，但 $\{-1, 0\} \cap \{0, 1\} \notin \tau_1$ 。下面为导出拓扑的等价定义：英语百科 Induced topology 导出拓扑 In topology and related areas of mathematics, an induced topology on a topological space is a topology which is "optimal" for some function from/to this topological space.
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