超实数系统是为了严格处理无穷量（无穷大量和无穷小量）而提出的。自从微积分的发明以来，数学家、科学家和工程师等（包括牛顿和莱布尼兹在内）就一直广泛地用无穷小量等概念。超实数集，或称为非标准实数集，记为，是实数集 ℝ 的一个扩张；其中含有一种数，它们大于所有如下形式的数：

这可以解释为无穷大；而它们的倒数就作为无穷小。ℝ 满足如下性质：任何关于 ℝ 的一阶命题如果成立，则对 ℝ 也成立。这种性质称为传达原理。举例来说，实数集的加法交换律

是关于 ℝ 的一阶命题，因此也成立着：

也就是说超实数集同样满足加法交换律。

The system of hyperreal numbers is a way of treating infinite and infinitesimal quantities. The hyperreals, or nonstandard reals, *R, are an extension of the real numbers R that contains numbers greater than anything of the form

Such a number is infinite, and its reciprocal is infinitesimal. The term "hyper-real" was introduced by Edwin Hewitt in 1948.