霍普夫不变量

在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（Hopf invariant）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel）构造了霍普夫映射 $\eta\colon S^3 \to S^2$ ，并通过利用圆周 $\eta^{-1}(x),\eta^{-1}(y) \subset S^3$ 对任意 $x \neq y \in S^2$ 的环绕数（=1），证明了 $\eta$ 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 $\pi_3(S^2)$ 是由 $\eta$ 生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（ $n$ 奇）有理同伦群 $\pi_i(S^n) \otimes \mathbb{Q}$ 是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（ $n$ 偶），在 $2n-1$ 次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法：

单词	Hopf invariant
释义	Hopf invariant 中文百科霍普夫不变量在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（Hopf invariant）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。 1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel）构造了霍普夫映射 $\eta\colon S^3 \to S^2$ ，并通过利用圆周 $\eta^{-1}(x),\eta^{-1}(y) \subset S^3$ 对任意 $x \neq y \in S^2$ 的环绕数（=1），证明了 $\eta$ 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 $\pi_3(S^2)$ 是由 $\eta$ 生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（ $n$ 奇）有理同伦群 $\pi_i(S^n) \otimes \mathbb{Q}$ 是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（ $n$ 偶），在 $2n-1$ 次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法：英语百科 Hopf invariant 霍普夫不变量 In mathematics, in particular in algebraic topology, the Hopf invariant is a homotopy invariant of certain maps between spheres.
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