希尔伯特模形式

在数学中，希尔伯特模形式是一类自守形式，对应于全实域 $K$ 及相应的群 $\mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} GL(2)_K$ 。这可以视作模形式的一种多变元推广。当 $K=\mathbb{Q}$ 时，我们回到模形式的定义。

对于 $m$ 次全实域 $K$ 、 $\mathcal{O}$ 为其中的代数整数环、 $\sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \to \mathbb{R}$ 为相应的实嵌入映射。由此得到嵌入映射

\mathrm{GL}(2,F) \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})^m, \quad g \mapsto (\sigma_1(g),\ldots,\sigma_m(g))

设 $\mathcal{H} = \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})$ 为上半平面，透过上述嵌入， $\mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O})$ （指 $\mathrm{GL}(2,\mathcal{O})$ 中行列式为正的元素）作用于 $\mathcal{H}^m$ 上。

对 $g = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in GL(2,\mathbb{R})$ ，定义自守因子之值为

j(g, z) = (\det g)^{-\frac{1}{2}} (cz+d)

权为 $(k_1, \cdots, k_m)$ 之希尔伯特模形式是指 $\mathcal{H}^m$ 上满足下述函数方程的全纯函数

\forall \gamma \in \mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O}),\; f(\gamma z) = \prod_{i=1}^m j(\sigma_i(\gamma), z_i)^{k_i} f(z).

此定义与模形式的差异在于：当 $K \neq \mathbb{Q}$ 时，不需要另加增长条件，这是 Koecher 定理的一个推论。

单词	Hilbert modular form
释义	Hilbert modular form 中文百科希尔伯特模形式在数学中，希尔伯特模形式是一类自守形式，对应于全实域 $K$ 及相应的群 $\mathrm{Res}_{K/\mathbb{Q}} GL(2)_K$ 。这可以视作模形式的一种多变元推广。当 $K=\mathbb{Q}$ 时，我们回到模形式的定义。对于 $m$ 次全实域 $K$ 、 $\mathcal{O}$ 为其中的代数整数环、 $\sigma_1, \ldots, \sigma_m: K \to \mathbb{R}$ 为相应的实嵌入映射。由此得到嵌入映射 $\mathrm{GL}(2,F) \to \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})^m, \quad g \mapsto (\sigma_1(g),\ldots,\sigma_m(g))$ 设 $\mathcal{H} = \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})/\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})$ 为上半平面，透过上述嵌入， $\mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O})$ （指 $\mathrm{GL}(2,\mathcal{O})$ 中行列式为正的元素）作用于 $\mathcal{H}^m$ 上。对 $g = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in GL(2,\mathbb{R})$ ，定义自守因子之值为 $j(g, z) = (\det g)^{-\frac{1}{2}} (cz+d)$ 权为 $(k_1, \cdots, k_m)$ 之希尔伯特模形式是指 $\mathcal{H}^m$ 上满足下述函数方程的全纯函数 $\forall \gamma \in \mathrm{GL}^+(2,\mathcal{O}),\; f(\gamma z) = \prod_{i=1}^m j(\sigma_i(\gamma), z_i)^{k_i} f(z).$ 此定义与模形式的差异在于：当 $K \neq \mathbb{Q}$ 时，不需要另加增长条件，这是 Koecher 定理的一个推论。英语百科 Hilbert modular form 希尔伯特模形式 In mathematics, a Hilbert modular form is a generalization of modular forms to functions of two or more variables. It is a (complex) analytic function on the m-fold product of upper half-planes $\mathcal{H}$ satisfying a certain kind of functional equation. Let F be a totally real number field of degree m over rational field. Let
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