海伦公式 Heron's formula




海伦公式(Heron's formula或Hero's formula),又译希罗公式、希伦公式、海龙公式,亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式相传是亚历山大港的希罗发现的,并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。亦有认为早于阿基米德已经懂得这条公式,而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集,该公式的发现时期很有可能先于希罗的著作。
假设有一个三角形,边长分别为,三角形的面积
可由以下公式求得:
中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之为实,……开平方得积。”若以大斜记为,中斜记为
,小斜记为
,秦九韶的方法相当于下面的一般公式: