欧拉函数 (复变函数)

在数学上，欧拉函数的定义如下

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)

此函数得名由莱昂哈德·欧拉。欧拉函数是典型的q级数及模形式函数，也是描述组合数学及复分析之间关系的典型范例。

欧拉函数的的倒数 $1/\phi(q)$ 展开成形式幂级数，其对应的系数 $p(k)$ 恰好是k的分割函数，亦即

\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k

其中 $p(k)$ 为k的分割函数。

五边形数定理是一个有关欧拉函数的恒等式，其定理如下：

\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.

其中 $(3n^2-n)/2$ 为广义五边形数。

依拉马努金恒等式，欧拉函数和戴德金η函数有以下的关系：

\phi(q)= q^{-\frac{1}{24}} \eta(\tau)

其中 $q=e^{2\pi i\tau}$ 是nome的平方。

上述二个函数都有模群下的对称性。

单词	Euler function
释义	Euler function 中文百科欧拉函数 (复变函数) 在数学上，欧拉函数的定义如下 $\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)$ 此函数得名由莱昂哈德·欧拉。欧拉函数是典型的q级数及模形式函数，也是描述组合数学及复分析之间关系的典型范例。欧拉函数的的倒数 $1/\phi(q)$ 展开成形式幂级数，其对应的系数 $p(k)$ 恰好是k的分割函数，亦即 $\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k$ 其中 $p(k)$ 为k的分割函数。五边形数定理是一个有关欧拉函数的恒等式，其定理如下： $\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.$ 其中 $(3n^2-n)/2$ 为广义五边形数。依拉马努金恒等式，欧拉函数和戴德金η函数有以下的关系： $\phi(q)= q^{-\frac{1}{24}} \eta(\tau)$ 其中 $q=e^{2\pi i\tau}$ 是nome的平方。上述二个函数都有模群下的对称性。英语百科 Euler function 欧拉函数 (复变函数) In mathematics, the Euler function is given by Named after Leonhard Euler, it is a prototypical example of a q-series, a modular form, and provides the prototypical example of a relation between combinatorics and complex analysis.
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Euler function

欧拉函数 (复变函数)

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