特征矢量 Eigenvalues and eigenvectors

（重定向自Eigenbasis）

图1.当蒙娜丽莎的图像左右翻转时，中间垂直的红色矢量方向保持不变。而水平方向上黄色的矢量的方向完全反转，因此它们都是左右翻转变换的特征矢量。红色矢量长度不变，其特征值为1。黄色矢量长度也不变但方向变了，其特征值为-1。橙色矢量在翻转后和原来的矢量不在同一条直线上，因此不是特征矢量。

图3、电子的机率密度绘图。横向展示不同的角量子数，竖向展示不同的能级（n）。束缚于氢原子内的电子的波函数可以视为氢原子的哈密顿算子的特征矢量，同时也是角动量算子的一个特征矢量。它们对应于能级（递增：n=1,2,3,...）和角动量（递增：s, p, d,...）的特征值。这里绘出了波函数绝对值的平方。更亮区域对应于位置的量子测量的更高机率密度。位于每幅图的中心是原子核，是一个质子

在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的线性变换 $A$ ，它的特征矢量（eigenvector，也译固有矢量或本征矢量） $v$ 经过这个线性变换之后，得到的新矢量仍然与原来的 $v$ 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。即

$\lambda$ 为纯量，即特征矢量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 $\lambda$ 为其特征值（本征值）。如果特征值为正，则表示 $v$ 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。图1给出了一个以著名油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下（如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换），一个变换可以由其特征值和特征矢量完全表述，也就是说：所有的特征矢量组成了这矢量空间的一组基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征矢量与一个同维数的零矢量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如 $\textstyle E_\lambda=\{u\in V\mid Au=\lambda u\}$ 即为线性变换 $A$ 中以 $\lambda$ 为特征值的特征空间。

单词	Eigenbasis
释义	Eigenbasis 中文百科特征矢量 Eigenvalues and eigenvectors （重定向自Eigenbasis）在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的线性变换 $A$ ，它的特征矢量（eigenvector，也译固有矢量或本征矢量） $v$ 经过这个线性变换之后，得到的新矢量仍然与原来的 $v$ 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。即 $\lambda$ 为纯量，即特征矢量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 $\lambda$ 为其特征值（本征值）。如果特征值为正，则表示 $v$ 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。图1给出了一个以著名油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下（如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换），一个变换可以由其特征值和特征矢量完全表述，也就是说：所有的特征矢量组成了这矢量空间的一组基底。一个特征空间(eigenspace)是具有相同特征值的特征矢量与一个同维数的零矢量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如 $\textstyle E_\lambda=\{u\in V\mid Au=\lambda u\}$ 即为线性变换 $A$ 中以 $\lambda$ 为特征值的特征空间。英语百科 Eigenvalues and eigenvectors 特征向量（重定向自Eigenbasis） In linear algebra, an eigenvector or characteristic vector of a linear transformation is a non-zero vector that does not change its direction when that linear transformation is applied to it. In other words, if v is a vector that is not the zero vector, then it is an eigenvector of a linear transformation T if T(v) is a scalar multiple of v. This condition can be written as the equation
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